1973年是丘成桐数学事业上十分重要的一年。他在这一年中完成了著名论文,在论文中巧妙地应用极植原理及辅助函数,给出了哈纳克(Hamack)不等式,并由此导出刘维尔(Liouville)型定理,用丘成桐自己的话来说,这篇文章是他的数学生涯中的转折点。实际上,该文奠定了他应用分析方法的基本思想及技巧。从此以后,在他的数学工作中处处可见分析方法的应用。诸如卡拉比猜测的解决、谱值下界的估计、热核估计等。
他头一项重要而颇有影响的工作是证明了卡拉比在五十年代初的一个猜想。丘成桐是摘取世界上数学皇冠的佼佼者,解决“卡拉比猜想”最卓有成效的数学家。“卡拉比猜想”是二十五年前由著名数学家卡拉比提出的关于高维空间曲率的一个猜想。连卡拉比本人也未能证明其正确性。这是要求解一个很难的非线性偏微分方程的问题。由于人们对非线性方程不太有办法,所以这个问题进展不大。丘成桐不畏艰难,一次一次,一年又一年地探索、印证,曾有半个月时间,夜不能寐,刻苦钻研,最后摸准了问题难点,以微分方面的造诣,运用纯熟的先验估计等技巧,终于解决了这个难题。
过去人们解的非线性偏微分方程大多是比较接近线性的,而对于丘成桐解的这种高度非线性方程办法不多。丘成桐的成功促使一大批同类的方程得到解决。他继续做下去,成果累累,不单单解了许多偏微分议程,而且得到一系列十七数几何学、复解析几何学、微分几何学甚至广义相对论的重要定理。
丘成桐在解决卡拉比猜测的同时,还证明了J.H·庞加莱(Poineare)的单值化定理,推广庞加莱单值化定理至任意维数。丘成桐还将其应用于代数几何。丘成桐的这些工作震动了世界数学界。法国著名的布尔巴基数学讨论班迅速介绍并且研读了他的工作。
丘成桐在70年代的另一重要成就表现在对著名的闵科夫斯基(Minkowski)问题的研究。许多数学家试图解决高维情形,但未能如愿。最后在1975年,丘成桐与郑绍远合作解决了闵科夫斯基问题的光滑性。
丘成桐于1976年被提升为斯坦福大学数学教授,当时只有28岁,且为1977—1978年度加州大学伯克利分校特邀教授。由于成就显著,1978年,他应邀在芬兰赫尔辛基举行的世界数学家大会上做一小时学术报告,题目为“微分几何中偏微分方程作用”。这一报告代表了80年代前后微分几何的研究方向、方法及其主流。受到与会者的好评。被指定作一小时报告是一种数学界难得之殊荣,报告者是当今最活跃的一些数学家,其中有不少是过去或未来的菲尔兹奖获得者。
1973年夏,在美国数学会举办的斯坦福微分几何大会上,物理学家R.杰拉奇(C,eroch)向数学家们讲演了广义相对论,众所周知,广义相对论中有一个正质量猜想,意思大致是,某一质量的引力效应可以用该质量所在位置附近的时一空曲率来表示。但正质量猜想指出,引力效应并不局限于局部,原则上也可以在宇宙边缘处发现。这是十分困难的大范围微分几何问题。丘成桐和他的学生一起应用微分几何方法,造出极小曲面,运用非线性方程的技巧完全加以解决。
在多复变函数及代数几何学等许多方面,他这一套方法的威力也出现了重要成果,证明了塞梵利猜想。他同肖荫堂合作给弗兰克尔猜想一个新证明。
有意思的是,他和色斯顿等人从不同角度一起解决斯密司猜想。他的道路是从极小曲面出发来研究微分流形的拓扑学。这是把第一次菲尔兹奖获得者的工作与第十次菲尔兹奖获得者的工作联系在一起。对付极小曲面并不容易,需要大范围微分几何以及非线性偏微分方程。但是丘成桐在这方面却是左右逢源,从而能够得到不少新结果。
著名的普拉托(Plateau)问题,道格拉斯·莫里解是否是自不相交的嵌入曲面,仍有待解决。70年代左右,许多优秀数学家,如R·奥斯曼(Osserman)、S·希尔德布兰特(Hildebrandt)、R·格利弗(Gui-liver)等努力探索未果。1975年,丘成桐在普林斯顿大学数学系讲演之际,通过与C·D·帕普基里亚库波洛斯(Papakyriakopouious)教授的交谈,掌握了一个怎样从浸人证明嵌入的拓扑技巧。几年后,他与W·米克斯(Meeks)合作,应用这一技巧解决了道格拉斯·莫里解的嵌入问题,该结果在拓朴学中有许多应用,后者是解决关于史密斯(Smith)猜测的不可缺少的一部分。
正是由于丘成桐的独到之处,他得到一九八一年颁发的维布伦(Veblen)奖。评奖者认为,很少有数学家能够比得上丘成桐成就的深刻性、影响力以及方法和应用的广泛性,这的确是中肯的评语。这是由美国数学会颁发的世界微分几何界中最高奖之一。同年获美国国家科学院卡特(Garry)奖。一九八五年丘成桐将与其他二十四位艺术家、科学家及公共问题专家一起,接受被称为“寻找天才”的麦克阿瑟基金奖。麦克阿瑟基金奖,不接受任何人推荐,是由这个基金会一百位散布在全美各地,不为公众所知的提名人推出候选人,再由一个十五人评审委员会选出,得奖人在五年内可以获得十五万五千到六十万美元的免税奖金。这个基金,由一个芝加哥的慈善机构资助,自一九八一年开始颁发奖金,与前驻联全国军统帅麦克阿瑟将军无关。